数学辅导总结(7400字)

发表于:2016.12.12来自:www.ttfanwen.com字数:7400 手机看范文

第一章 集合

1、数集 元素为数的集合叫做数集,常用的数集有:

实数集 全体实数组成的集合叫做实数集,常用R表示。

有理数集 全体有理数组成的集合叫做有理数集,常用Q表示。

整数集 全体整数组成的集合叫做整数集,常用Z表示。

非负整数集——自然数集,常用N表示。

正整数集,用N+或N*表示。

1、 子集

对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则集合A叫做集合B的子集,记作

A B 或 B A

读作“A包含于B”,或“B包含A”。

2、 交集

由所有既属于集合A又属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与集合B的交集,记作A∩B,读作“A交B”,即

A∩B={x|x∈A且x∈B}

3、 并集

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与集合B的并集,记作A∪B,读作“A并B”,即

A∪B={x|x∈A或x∈B}

第二章 不等式和不等式组

1、不等式动的主要性质

设a、b、c是实数,则:

不等式的基本性质:如果a-b>0,那么a>b;反之也成立。

如果a-b<0,那么a<b;反之也成立。

不等式性质:如果a>b,那么b<a;反之,如果b<a,那么a>b.

如果a>b且b>c,那么a>c(传递性).

如果a>b,那么a+c>b+c.

如果a>b且c>0,那么ac>bc.

如果a>b且c<0,那么ac<bc.

如果a>b>0,那么a2>b2.

2、一元一次不等式及其解法

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3、含绝对值符号的不等式

当a>0时

1)|x|<a的解集是{x|-a<x<a}

2)|x|>a的解集是{x|x>a或x<-a}

当a≤0时

1)|x|<a的解集为Ф

2)当a<0时,|x|>a的解集为R;当a=0时,即|x|>0的解集为{x|x≠0}.

解不等式|ax+b|<c相当于解不等式

-c<ax+b<c

解不等式|ax+b|>c相当于解不等式

ax+b>c 或 ax+b<-c

4、一元二次不等式及其解法

当a>0时,由一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ(=b2-4ac)的符号与二次函数y=ax2+bx+c图

像的相应位置关系,可确定一元二次不等式的解集。

1)当Δ>0即一元二次方程有两个相异实数根x1,x2(x1<x2)时,使不等式(y=)ax2+bx+c>0成立

的x值为

x<x1 或 x>x2

2 使不等式(y=)ax+bx+c<0成立的x值为

x1<x<x2

2)当Δ=0即一元二次方程有相等实数根x1=x2= 时,使不等式(y=)ax2+bx+c>0成立的x

值为

x≠

不等式ax2+bx+c<0的解集为Ф.

3)当Δ<0即一元二次方程没有实数根时,使不等式(y=)ax2+bx+c>0成立的x值为所有实数,

即解集为R;ax2+bx+c<0的解集为Ф.

第三章 指数与对数

1、有理指数幂

1)零指数幂a0=1(a≠0)

2)负整数指数幂a-p= (a≠0,p∈N+)

3)分数指数幂

a = (a≥0;m,n∈N+且n>1)

2、幂的运算法则

1)ax2ay=ax+y

2)(ax)y=axy

3)(ab)x=axbx

这里a>0,b>0;x,y∈R

3、对数

1)定义 如果ab=N(a>0且a≠1),那么b叫做以a为底的N的对数,记作logaN=b.这里a叫做底数,N叫真数。

2)性质

? 零和负数没有对数,即真数N必须大于零;

? 底的对数等于1,即logaa=1;

? 1的对数等于0,即loga1=0;

? 10的整数次幂的常用对数等于幂指数,即

lg10n=n(n∈Z)

3)运算法则

积、商、幂、方根的对数:

loga(MN)=logaM+logaN

loga =logaM-logaN

logaMn=nlogaM

loga = logaM

第四章 函数

3、单调性 设y=? (x)是定义在某区间上的函数,x1,x2是该区间上的任意两个值,且x1<x2.

如果 ?(x1)< ?(x2),则称函数y= ?(x)在此区间上是单调增加函数,或称增函数。增函数的图像是上升的。

如果 ?(x1)> ?(x2),则称函数y= ?(x)在此区间上是单调减少函数,或称减函数。减函数的图像是下降的。

增函数与减函数统称单调函数。如果函数在一个区间上是单调的,这个区间就叫做此函数的单调区间。

4、奇偶性 设函数y= ?(x)的定义域为D.

如果对任意的x∈D,有-x∈D且?(-x)=-?(x),则称?(x)为奇函数。

如果对任意的x∈D,有-x∈D且?(-x)=?(x),则称?(x)为偶函数。

5、一次函数

1)定义 函数y=kx+b叫做一次函数,其中k与b是常数且k≠0.

当b=0时,函数y=kx叫做正比例函数。

2)定义域与值域 一次函数的定义域与值域都是R.

3)正比例函数y=kx的图像是经过原点(0,0)的直线。一次函数y=kx+b的图像是经过点(0,b)且与直线y=kx平行的直线。

当b<0时,直线通过y轴的负半轴;当b>0时,直线通过y轴的正半轴。

4)性质——单调性、奇偶性 y=kx+b当k>0时在(-∞,+∞)内为增函数,即y值随x值的增大而增大。此时直线对于x轴的倾角α是锐角。y=kx+b当k<0时在(-∞,+∞)内为减函数,即y值随x值的增长而减小。此时直线对于x轴的倾角α是钝角。y=kx是奇函数。

6、二次函数

2 1)定义 函数y=ax+bx+c叫做二次函数,其中a,b,c是常数且a≠0.

2)定义域 二次函数的定义域是R

2 3)图像 二次函数y=ax+bx+c是顶点为(- ),对称轴为x=- 的抛物线,当

a>0时开口向上;当a<0时开口向下。

7、反比例函数

1)定义 函数y= 叫做反比例函数,其中k是不等于零的常数。

2)定义域与值域 反比例函数的定义域与值域都是

(-∞,0)∪(0,+∞)

3)性质——单调性、奇偶性

? y= (k>0)在区间(-∞,0)与区间(0,+∞)内是减函数;

? y= (k<0)在区间(-∞,0)与区间(0,+∞)内是增函数;

? y= 是奇函数。

8、指数函数

x1)定义 函数y=a(a>0且a≠1)叫做指数函数。

2)定义域与值域 指数函数的定义域为(-∞,+∞),值域为(0,+∞)。

x3)图像 指数函数y=a的图像是通过点(0,1)在x轴上方的曲线。当a>1时,曲线左方可与x轴

无限靠近;当0<a<1时,曲线右方可与x轴无限靠近。

4)性质

01? a=1,a=a

x? a>0

xx? 若a>1,则当x<0时,0<a<1,而当x>0时,a>1;

xx 若0<a<1,则当x<0时,a>1,而当x>0时,0<a<1.

xx? 单调性 y=a(a>1)在区间(-∞,+∞)内是增函数;y=a(0<a<1)在区间(-∞,+∞)内

是减函数。

9、对数函数

1)定义 函数y=logax(a>0且a≠1)叫做对数函数。

2)定义域与值域 对数函数的定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞)

3)图像 对数函数y=logax的图像是通过点(1,0)在y轴右方的曲线,当a>1时,曲线下方可与y轴无限靠近;当0<a<1时,曲线上方可与y轴无限靠近。

4)性质

? loga1=0,logaa=1

? 零与负数没有对数

? 若a>1,则当0<x<1时,logax<0,而当x>1时,logax>0;

若0<a<1,则当0<x<1时,logax>0,而当x>1时,logax<0.

? 单调性 y=logax(a>1)在区间(0,+∞)内是增函数;y=logax(0<a<1)在区间(0,+∞)内是

减函数。

第五章 数列

1、定义 按照一定次序排列的一列数叫做数列。

项数有限的数列叫做有穷数列。

2、通项公式 如果一个数列{an}的第n项an与项数n之间的函数关系可以用一个公式表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式。

数列{an}的第n项an与前n项的和Sn=a1+a2+?+an具有如下关系式: 1=S1

n=Sn-Sn-1,n≥2

3、等差数列

? 定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差

数列,这个常数就叫做等差数列的公差,常记作d.

? 一般形式

a1,a1+d,a1+2d,?,a1+(n-1)d,?

? 通项公式 an=a1+(n-1)d

? 等差中项 如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项,并有

A=

a,b,c成等差数列﹤=﹥2b=(a+c)

? 前n项和的公式

? 解题时,已知三数成等差数列,若设此三数为a-d,a,a+d,有时可使计算简便。

如果已知a1,an,n,d,Sn中三个数,利用通项公式与前n项和的公式列出方程组可求出另外

两个数。

? 项数一定的等差数列{an},与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和,即:

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=?=ak+an-k+1

4、等比数列

? 定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等

比数列,这个常数叫做等比数列的公式,常记作q.

? 一般形式

2n-1 a1,a1q,a1q,?,a1q,? (a1q≠0)

n-1? 通项公式 an=a1q

? 等比中项 如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,且有

G=±

2 a,b,c成等比数列﹤=﹥b=ac

? 前n项和的公式

? 解题时,已知三数成等比数列,若设此三数为 ,a,aq,有时可使计算简便。

如果已知a1,an,n,q,Sn中的三个数,利用通项公式与前n项和的公式列出方程组可求出另外两

个数。

? 项数一定的等比数列{an},与首末两项等距离的两项之积等于首末两项之积,即:

a1an=a2an-1=a3an-2=?=akan-k+1

第七章 三角函数及其有关概念

1、角的度量

? 弧度制 我们规定正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,设α为已

知角的弧度数,ι为角α作为圆心角时所对圆弧的长,r为圆的半径,则它们之间具有以下关系:

常用来求弧长或半径。

角度与弧度的换算关系

0 180=π弧度

0 1= 弧度≈0.017453弧度

000 1弧度=( )≈57.30=5718’

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2、任意角的三角函数

定义 在平面直角坐标系中,设P(x,y)是角α的终边上的任意一点,且原点到该店的距离为r(r>0),则比值

分别叫做角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割,即

三角函数在各象限的符号 三角函数的符号依照角的终边所在的象限来确定。

特殊角的三角函数值 表一、

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第八章 三角函数式的变换

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公式一 sin(k2360°+α)=sinα,cos(k2360°+α)=cosα

k∈Z tan(k2360°+α)=tanα,cot(k2360°+α)=cotα 公式二 sin(180°+α)=-sinα,cos(180°+α)=-cosα tan(180°+α)=tanα,cot(180°+α)=cotα 公式三 sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα,cot(-α)=-cotα

公式四 sin(180°-α)=sinα,cos(180°-α)=-cosα tan(180°-α)=-tanα,cot(180°-α)=-cotα 公式五 sin(360°-α)=-sinα,cos(360°-α)=cosα tan(360°-α)=-tanα,cot(360°-α)=-cotα 公式六 sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα 公式七 sin(90°+α)=cosα,cos(90°+α)=-sinα

tan(90°+α)=-cotα,cot(90°+α)=-tanα

公式八 sin(270°-α)=-cosα,cos(270°-α)=-sinα

tan(270°-α)=cotα,cot(270°-α)=tanα

公式九 sin(270°+α)=-cosα,cos(270°+α)=sinα

tan(270°+α)=-cotα,cot(270°+α)=-tanα

3、两角和、两角差、倍角的正弦、余弦、正切的公式

两角和与两角差的正弦、余弦、正切的公式

sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ

cos(α±β)=cosαcosβ sinαsinβ

tan(α±β)=

倍角的正弦、余弦、正切的公式

sin2α=2sinαcosα

22 cos2α=cosα-sinα

2 =2cosα-1

2 =1-2sinα

tan2α=

第九章 三角函数的图像和性质

1、已知三角函数值求角

在y=sinx,x∈[- , ],如果已知其函数值y,则角x=arcsiny,y∈[-1,1] 在y=cosx,x∈[0,π],如果已知其函数值y,则角x=arcosy,y∈[-1,1]

在y=tanx,x∈( , ),如果已知其函数值y,则角x=arctany,y∈(-∞,+∞)

第十章 解三角形

1、解直角三角形

222 三边之间的关系(勾股定理) a+b=c

两锐角之间的关系 A+B=90°

两边一锐角之间的关系

sinA=(cosB=) ,cosA=(sinB=) ,

tanA=(cotB=) ,cotA=(tanB=) 。

2、余弦定理

222222222 a=b+c-2bccosA,b=c+a-2cacosB,c=a+b-2abcosC

3、正弦定理

第十一章 平面向量

1、向量运算法则 设a,b,c为任意向量,λ是实数

1)a2b=b2a

2)(λa)2b=λ(a2b)=a2(λb)

3)(a+b)2c=a2c+b2c

2、向量的坐标表示

有序实数对(x,y)称为向量OA的坐标,记为

OA=(x,y)

第十二章 直线

1、斜率

通常,用k表示直线的斜率,用倾斜角α的正切表示即为: k=tanα(α≠90°)

2、过两点的直线斜率公式

k=tanα=

3、特殊直线的方程

平行于x轴的直线 y=b

x轴 y=0

平行于y轴的直线 x=a

y轴 x=0

经过原点(不包括坐标轴)的直线y=kx(k≠0)

4、点到直线的距离

点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d为

d=

第十三章 圆锥曲线

1、圆的标准方程

圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程为

222 (x-a)+(y-b)=r

当圆心坐标为原点O(0,0),即a=b=0时,

222 x+y=r

222、圆的一般方程 x+y+Dx+Ey+F=0

3、椭圆的标准方程

(a>b>0,焦点在x轴上)

4、 双曲线的标准方程

5、双曲线的离心率 双曲线的焦距与实轴长的比e= 叫做双曲线的离心率。

6、抛物线的标准方程

2 y=2px(p>0)

第十四章 排列与组合

1、 排列的定义 从n各不同元素中,任取m(m≤n)个不同元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n

个不同元素中取出m个元素的一个排列,当m=n时,又叫做全排列。

2、 排列的公式

3、组合的定义 从n个不同元素中,任取m(m≤n)个不同元素,不管顺序并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

4、组合的公式

5、 组合的基本性质



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