求极限的方法及例题总结(4800字)

发表于:2018.4.22来自:www.ttfanwen.com字数:4800 手机看范文

1.定义:

说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明,例如:;x?2lim(3x?1)?5

(2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。

利用导数的定义求极限

这种方法要求熟练的掌握导数的定义。

求极限的方法及例题总结

2.极限运算法则

定理1 已知limf(x),limg(x)都存在,极限值分别为A,B,则下面极限都存在,且有(1)lim[f(x)?g(x)]?A?B

(2)limf(x)?g(x)?A?B

(3)limf(x)A?,(此时需B?0成立)g(x)B

说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用。

1

. 利用极限的四则运算法求极限

这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下,要使用这些法则,往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。

求极限的方法及例题总结

8.用初等方法变形后,再利用极限运算法则求极限

limx?1 例1 3x?1?2x?1

(3x?1)2?223x?33lim?lim?x?1(x?1)(3x?1?2)x?1(x?1)(3x?1?2)4解:原式=。

注:本题也可以用洛比达法则。

例2 limn(n?2?n?1)n??

nn[(n?2)?(n?1)]分子分母同除以lim?n??n?2?n?1limn??3?21??nn?32解:原式=

(?1)n?3n

limnn例3 n??2?3

2 。

上下同除以3n

?

解:原式

1(?)n?1lim?1n??2n()?13。

3.两个重要极限

sinx?1x?0x(1) lim

(2)x?0lim(1?x)?e1xlim(1?)x?e;x??

说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式, sin3xlim?1lim(1?2x)?2x?elim(1?)3?e例如:x?03x,x?0,x??;等等。 1x

利用两个重要极限求极限

1?cosx

2x?03x例5 lim

xx2sin2

?lim?1limx?0x?0x63x212?()2

2解:原式=。 2sin2

注:本题也可以用洛比达法则。

lim(1?3sinx)x?02x例6

1?6sinx解:原式=x?0

lim(1?3sinx)?lim[(1?3sinx)x?01?3sinx]?6sinx?e?6。 3

例7 lim(n??n?2n)n?1

n?1?3n

?3?3?lim(1?)n??n?1解:原式=?3?3?lim[(1?)]?e?3

n??n?1。 n?1?3n

4.等价无穷小

定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。

定理3 当x?0时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有:

x~sinx~tanx~arcsin

面的等价 x~arctanx~ln(1?x)~ex?1。 说明:当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时(g(x)?0),仍有上

关系成立,例如:当x?0时,e3x?1~3x;ln(1?x2)~?x2。

f1(x)f(x)limg1(x)存在时,x?x0g(x)也存在且定理4 如果函数f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是x?x0时的无穷小,且f(x)~f1(x),g(x)~g1(x),则当x?x0lim

f1(x)f1(x)f(x)limlimlimx?xx?x0g(x)x?x0g(x)0g(x)f(x)11等于,即=。

利用等价无穷小代换(定理4)求极限

limx?0例9

xln(1?3x)arctan(x2) 4

ln(1?3x)~3x,arctan(x2)~x2, 解:?x?0时,

limx?3x?3x2。 ? 原式=x?0

ex?esinx

lim例10 x?0x?sinx

esinx(ex?sinx?1)esinx(x?sinx)lim?lim?1x?0x?0x?sinxx?sinx解:原式=。

注:下面的解法是错误的:

(ex?1)?(esinx?1)x?sinxlim?lim?1x?0x?0x?sinxx?sinx原式=。

正如下面例题解法错误一样:

limx?0tanx?sinxx?x?lim?0x?0x3x3。

1tan(x2sin)limsinx例11 x?0 解:?当x?0时,x2sin111是无穷小,?tan(x2sin)与x2sin等价xxx,

x2sin

所以,原式=x?0

lim1?limxsin1?0x?0xx。(最后一步用到定理2)

五、利用无穷小的性质求极限

有限个无穷小的和是无穷小,有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价无穷小替换求极限常常行之有效。

5

例 1. x?0

1/21

lim(?xsinx?1sinsin(x?1))lim2lnxex?1 2. x?0

5.洛比达法则

定理5 假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时,函数f(x)和g(x)满足:(1)f(x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大;

(2)f(x)和g(x)都可导,且g(x)的导数不为0;

f?(x)limg?(x)存在(或是无穷大)(3); limf(x)f?(x)limmilg(x)也一定存在,g?(x),且等于即f(x)f?(x)limg(x)=g?(x)。 则极限

说明:定理5称为洛比达法则,用该法则求极限时,应注意条件是否满足,只要有一条不满足,洛比达法则就不能应用。特别要注意条件

0?

(1)是否满足,即验证所求极限是否为“0”型或“?”型;条件

(2)一般都满足,而条件(3)则在求导完毕后可以知道是否满足。另外,洛比达法则可以连续使用,但每次使用之前都需要注意条件。

利用洛比达法则求极限

6

说明:当所求极限中的函数比较复杂时,也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时,洛比达法则还可以连续使用。

1?cosx

2x?03x例12 (例4) lim

sinx1?x?06x6。解:原式=(最后一步用到了重要极限) lim

cos?x

例13 limx?1x?1

??

sin?x

解:原式=x?1

例14 limx?0lim???12。 x?sinxx3

lim1?cosxsinx1lim?2x?0x?06x6。3x解:原式==(连续用洛比达法则,最后用重

要极限)

sinx?xcosx

2例15 x?0xsinx lim

解:

原式?limsinx?xcosxcosx?(cosx?xsinx)?limx?0x?0x2?x3x2

xsinx1?lim?x?03x23先用等价无穷小,再用洛必达法则

11lim[?]x?0xln(1?x) 例18

11lim[?]?0解:错误解法:原式=x?0xx。

正确解法:

7

原式?limln(1?x)?xln(1?x)?x?limx?0xln(1?x)x?xx?0

1?1x1?lim?lim?。x?0x?02x2x(1?x)2

应该注意,洛比达法则并不是总可以用,如下例。 例19 limx??x?2sinx3x?cosx

1?2cosx0lim解:易见:该极限是“0”型,但用洛比达法则后得到:x??3?sinx,

此极限

不存在,而原来极限却是存在的。正确做法如下:

2sinx

limx??cosx3?x(分子、分母同时除以x) 原式=1?

1

=3(利用定理1和定理2)

6.连续性

定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续,即如果x0是函数

8 f(x)的定义去间内的一点,则有x?x0limf(x)?f(x0)。

利用函数的连续性(定理6)求极限

例4 limx2ex?21x

1

2x解:因为x0?2是函数f(x)?xe的一个连续点,

所以原式=2e?4e。

7.极限存在准则

定理7(准则1)单调有界数列必有极限。

四、利用单调有界准则求极限

首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性,再求解方程可求出极限。

例1. 设a?0,

x1?a,x2?a?a?a?x1,?,xn?1?a?xn(n?1,2,?)212

求极限n??

limxn。 9

定理8(准则2)已知{xn},{yn},{zn}为三个数列,且满足:

(1)yn?xn?zn,(n?1,2,3,?)

(2)n??

则极限

10. 夹逼定理

求极限的方法及例题总结

limyn?an??,n??limzn?a n??limxn一定存在,且极限值也是a ,即limxn?a。

利用极限存在准则求极限 例20 已知x1?2,xn?1?2?xn,(n?1,2,?),求n??limxn

limxnx{x}解:易证:数列n单调递增,且有界(0<n<2),由准则1极限n??

存在,设n??limxn?a。对已知的递推公式xn?1?2?xn两边求极限, 10

得:

a?2?a,解得:a?2或a??1(不合题意,舍去)

所以n??limxn?2

lim(1。 ?1

n?2

?1

n2?12例21 n??n?1n2???12n?n 1???1

n2?n?n

n2?1 )2解:易见:n?n?n2?2

limn

n?n2因为n???1limnn?1

1

2,n??n??2?1 1n?22lim(所以由准则2得:

n?1????1n?n2)?1。

9. 洛必达法则与等价无穷小替换结合法

对于一些函数求极限问题,洛必达法则和等价无穷小结合运用,往往能化简运算,收到奇效。

求极限的方法及例题总结

11

11. 泰勒展开法

求极限的方法及例题总结

12. 利用定积分的定义求极限法

积分本质上是和式的极限,所以一些和式的极限问题可以转化为求定积分的问题。

12

求极限的方法及例题总结

8. 利用复合函数求极限

求极限的方法及例题总结

十、利用级数收敛的必要条件求极限 级数收敛的必要条件是:若级数些极限n??limf(n)?un?1?n收敛,则n??limun?0,故对某,可将函数f(n)作为级数n?1?f(n)?的一般项,只须证明此技术收敛,便有n??limf(n)?0。 13

n!

例n??nn lim

十一、利用幂级数的和函数求极限

当数列本身就是某个级数的部分和数列时,求该数列的极限就成了求相应级数的和,此时常可以辅助性的构造一个函数项级数(通常为幂级数,有时为Fourier级数)。使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值。 例求n??lim(1?133?2???n?1)333

7等比等差数列公式应用(对付数列极限)(q绝对值符号要小于1)

8各项的拆分相加(来消掉中间的大多数)(对付的还是数列极限)

可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式(对付数列极限)例如知道Xn与Xn+1的关系,已知Xn的极限存在的情况下, xn的极限与xn+1的极限时一样的,应为极限去掉有限项目极限值不变化

11 还有个方法 ,非常方便的方法

就是当趋近于无穷大时候

不同函数趋近于无穷的速度是不一样的!!!!!!!!!!!!!!!

x的x次方快于 x! 快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数(画图也能看出速率的快慢) !!!!!!

当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了

12 换元法 是一种技巧,不会对模一道题目而言就只需要换元,但是换元会夹杂其中

16直接使用求导数的定义来求极限,

(一般都是x趋近于0时候,在分子上f(x加减麽个值)加减f(x)的形式, 看见了有特别注意)

14




第二篇:几种求极限方法的总结 4300字

几种求极限方法的总结

摘 要 极限是数学分析中的重要概念,也是数学分析中最基础最重要的内容.通过sn对求极限的学习和深入研究,我总结出十二种求极限的方法.

关键词 定义 夹逼定理 单调有界 无穷小 洛必达 泰勒公式 数列求和定积分 定积分 数列

几种求极限方法的总结

?1?

根据极限的定义:数列{xn}收敛??a,??〉0,?N?N?,当n〉N时,有xn-a?. 例1 用定义证明lim

n

?1

n??n?1

11n?1?

??成立:解得n??1,取N=??1?,于?=

n?1?n?1???

证明:???0,要使不等式

nn?1?

?1 是???0,? N=??1?,?n?N,有???,即lim

n??n?1?n?1??

2利用两边夹定理求极限??

1

?1?111

? ????例2 求极限lim???2n??

n2?2n2?3n2?n??n?1

解:设cn?

1n?1

几种求极限方法的总结

几种求极限方法的总结

2

?

1n?2

2

??

1n?n

?

2

几种求极限方法的总结

几种求极限方法的总结

几种求极限方法的总结

几种求极限方法的总结

几种求极限方法的总结

几种求极限方法的总结

则有:cn?

几种求极限方法的总结

几种求极限方法的总结

几种求极限方法的总结

几种求极限方法的总结

几种求极限方法的总结

同时有:cn?

几种求极限方法的总结

??? ,于是

几种求极限方法的总结

?cn?

几种求极限方法的总结

几种求极限方法的总结

??n??

几种求极限方法的总结

?n. 有

nn

??cn???1 n?1n

?1?n111

?=1 ?1 ∴lim??????2222n??n?1n???n?2n?3n?n??n?1

1

?已知:lim

3利用函数的单调有界性求极限??

实数的连续性定理:单调有界数列必有极限.

例3 设x1?a,x2?a?a,?xn?a?a???a(n=1,2,?)(a?0),求limxn n??

解:显然?xn?是单调增加的。我们来证明它是有界的.易见 x2?a?x1,x3?a?x2 ,? xn?a?xn?1,? 从而 xn?a?xn?1,显然xn是单调增加的,所以xn2?a?xn 两段除以xn,得 xn?a?1 ?a?xn?a?1 这就证明了?xn?的有界性 xn

22

n??n??2设xn?l,对等式xn?a?xn?1两边去极限,则有limxn?a?limxn?1

?l2?l?a解得l?l?4a?1 2

4利用无穷小的性质求极限?2?

关于无穷小的性质有三个,但应用最多的性质是:若函数f(x)(x?a)是无穷小,函数g(x)在U(a,?)有界,则函数f(x)*g(x)(x?a)是无穷小. 例 求极限lim(cosx?1?cosx) x???

解4 cosx?1?cosx??2sin(x?1xx?1x?)sin(?) 2222??2sin(x?1x?)?2 而22

x?1x?)?22x?1x1?? 222(x?1?x)0?sin(

而limx??12(x?1?x)?0,故 limn??x?1_x?0 2

5 应用“两个重要极限”求极限?2?

limsinx1?1,lim(1?)x?e x?0x??xx

例5求lim(sin11

x??x?cosx)

sin2

解 x1(sin1?cos1)x??2sinx

?(sin1?cos1)2???2x

xx?xx?(1?sinx)

sin2

1x

2

∴原式=lim(1?2sinx

x

x??sinx)?e

6利用洛必达法则求极限?2?

??arctanx例6求limx??(0sin10)

x??arctanx?1

解: limn??=lim2sin1n???1

x?11

x2cosx

例7 求极限limtanx?

x??

2tan3x (?)

解 limtanx

x??

2tan3x=

lim(tanx),

?lim(cos3x)3

?lim?6cos3xsin3xsin6x6cos6x?6

x??

2(tan3x),x??

23(cosx)2x??

2?6cosxsinx?limx??

2sin2x?limx??

22cos2x??2?3

7利用泰勒公式求极限?2?

例8:求极限 limx2

n???xsinx?cosx

2

解 ∵x中分子为x2,∴将各函数展开到含x2项。

?xsinx?cosx

当x?0时,1?xc12

2?oxs2?x0x2(?从x而2?)x,

x??(1?cosx)??1121?1?x?0(x2)?1???x2?0(x2)??0(x2)=1-x2?0(x2) 422?2?

?xsinx??x2?0(x2)?1?12x?0(x2) 2

x2x2

∴原式=lim ?limn??n??32121??2x?0(x)1?x?0(x2)??1?x2?0(x2)?42?4?

8利用数列求和来求极限?2?

有时做一些求极限的题时,若对原函数先做一些变形,化简之后再利用极限性质去求极限过程简便些。

132n?1例9:求极限lim(?2???n).?2? n??222

132n?111352n?1解:令sn??2???n,则sn?2?3?4??n?1 22222222

?1?1???2n?1112n?1111112sn?sn???2???n?1-n?1=?*???n?1, 从而 12222222221?2

?1?1????2?sn?1?11?2n?1n?1???1??1????n?12n?12?????3 ?n,∴ 原式=lim?1?nn???12?21???2????n

9用定积分求和式的极限?2?

12n?1n?2?例10 设函数f(x)在?0,1?上连续,且f(x)?0,求limf().f()?f()f() n??nnnn

12n?1n解 令T=limf().f()?f()f() 于是n??nnnn

1?12n?1n?1?12n?lnT=ln?f().f().?f()f()?=?lnf()?lnf()???lnf()? n?nnnn?n?nn)n?

k1而limlnT?lim?lnf().??lnf(x)dx n??n??nn0k?1n1

12n?1n所以 limf().f()?f()f()=?lnf(x)dx n??nnnn01

10 利用定积分求极限?4?

利用定积分求极限可分为以下两种形式

123nf()?f()?f()???f()型. (1)limn??n

123nf()?f()?f()???f()1 =f(x)dx 定理1 设f(x)在?0,1?上可积,则有:lim?n??n0

123n????? ?4? 例12 求limn??n

123n?????11解:设f(x)=x,f(x)在?0,1?上可积。则lim =?xdx= n??2no

12n(2)limf()f()?f()型?4?. n??nnn

?1?12n定理2 设f(x)在?0,1?上可积,则有limf()f()?f()=epx??lnf(x)dx? n??nnn?0?

例13 求limn??

n!?4? n

解:limn??12nn!=lim.? nn??nnn

12nn!?1令 f(x)=x,则有lim=lim.?=exp?lnxdx=e n??nn??nnn0

11利用数列的递推公式求极限?3?

这种方法实际上包含有两种方法

(1)利用递推关系求出通项公式,然后求极限。这是基本的解法,它把极限的存在性与求极限问题一起解决.

例14 设a1=1,a2?2,3an?2?4an?1?an?0(n?1),求limann??1?3?

解:递推公式可化为3(an?2?an?1)?an?1?an

设bn?an?1?an,那么 bn?11?bn3所以,b1?a2?a1=1,

111b2?a3?a2?,b3?a4?a3?2?bn?1?an?an?1?n?2333

1111将以上各式相加得 an?a1?1??2?3?n?2 3333

11?n?1?5?1.1?lima?5 ?an?1?nn??12223n?21?3

(1) 如果数列极限存在设为A,则根据递推公式求出A.令数列的第n项记为A+an,利用无穷小和极限的关系,只需证明an?0(n??),便可确定数列的极限确实存在且就为A.

1例15 证明数列 2,2+,2+212?1

2,?极限存在并求出这个极限?3?. 解:由题意知递推关系为an?1?2?11,若数列的极限存在并设为A,则A=2+ Aan

设 an?1?2??n,有递推关系得1+2??n?1?2?1

1?2??n,即?n?1??n(1?2) 1?2??n

几种求极限方法的总结

而因为 ?n?an?(1?2)?2?11?(1?2)?1?2?an?1an?1

an?1?2??n?1??n?1??1??n 但2=1+22??1??1?1?2,所以

?1?11??n?n 即?n?0(n??) 由此推出数列的极限存在并且就为1+2 22

12 利用级数收敛的必要条件求极限?1?

当计算的题目形式很复杂时,可以作一个级数,看其是否收敛.再根据收敛的必要条件计算极限.

收敛的必要条件:若级数?un收敛,则u?0n(n??)

n?1?

nn

例16 计算lim n??(n!)2

un?1nnnn

解:作级数?,令 u?limn2n??u(n!)2n?1(n!)n??1??1??en??lim??lim?0?1 n??n??n?1n?1n

nnnn

有达朗贝尔判别法知?收敛.又有级数收敛的必要条件?lim=0 22n??(n!)n?1(n!)?

参考文献

?1? 陈传璋 金福临 朱学炎 数学分析(第二版)高等教育出版社 .1983.7 ?2? 解红霞.《浅谈求极限的几种方法》.太原教育学院学报.2001.6 第19卷第2期 ?3? 杨曼英

?4? 唐守宪 《极限的证明与求极限的方法》娄底师专学报 1994.第2期 2003.1第22卷第1期 《几种求极限的方法》沈阳师范学院学报

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