【海文考研】数学:16种求极限的方法总结(2400字)

发表于:2018.3.21来自:www.ttfanwen.com字数:2400 手机看范文

说起考研数学,你觉得最难的是哪个?据调查,数学中求极限的问题一直困扰着广大考生,海文考研专门为大家梳理了16种求极限的方法,相信肯定对考数学的学子有帮助。

解决极限的方法如下:

1、等价无穷小的转化

只能在乘除时候使用,但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小

2、洛必达法则

(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限,当然n趋近是x趋近的一种情况而已,是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的,不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导,直接用,无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!

当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况:0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷,无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方,1的无穷次方,无穷的0次方。对于(指数幂数)方程方法主要是取指

数还取对数的方法,这样就能把幂上的函数移下来了,就是写成0与无穷的形式了,(这就是为什么只有3种形式的原因,LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0,当他的幂移下来趋近于无穷的时候,LNX趋近于0)。

3、泰勒公式

(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x展开sina,展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。

4、无穷大比上无穷大

面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母!!!看上去复杂,处理很简单!

5、无穷小于有界函数

无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数,可能只需要知道它的范围结果就出来了!

6、夹逼定理

主要对付的是数列极限!这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式,放缩和扩大。

7、等比等差数列公式应用

对付数列极限(q绝对值符号要小于1)

8、各项的拆分相加

(对付数列极限)例如知道Xn与Xn+1的关系,已知Xn的极限存在的情况下,xn的极限与xn+1的极限时一样的,因为极限去掉有限项目极限值不变化。

9、求左右极限的方式

(对付数列极限)例如知道Xn与Xn+1的关系,已知Xn的极限存在的情况下,xn的极限与xn+1的极限时一样的,因为极限去掉有限项目极限值不变化。

10、两个重要极限的应用

这两个很重要!对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大,无穷小都有对有对应的形式(第2个实际上是用于函数是1的无穷的形式)(当底数是1的时候要特别注意可能是用地两个重要极限)

11、趋近于无穷大

还有个方法,非常方便的方法,就是当趋近于无穷大时候,不同函数趋近于无穷的速度是不一样的!x的x次方快于x!快于指数函数,快于幂数函数,快于对数函数(画图也能看出速率的快慢)!!当x趋近无穷的时候,他们的比值的极限一眼就能看出来了。

12、换元法

换元法是一种技巧,不会对单一道题目而言就只需要换元,而是换元会夹杂其中。

13、四则运算

假如要算的话四则运算法则也算一种方法,当然也是夹杂其中的。

14、数列极限

还有对付数列极限的一种方法,就是当你面对题目实在是没有办法,走投无路的时候可以考虑转化为定积分。一般是从0到1的形式。

15、单调有界

单调有界的性质,对付递推数列时候使用证明单调性!

16、导数的定义

直接使用求导数的定义来求极限,(一般都是x趋近于0时候,在分子上f(x加减某个值)加减f(x)的形式,看见了要特别注意)(当题目中告诉你F(0)=0时候f(0)导数=0的时候,就是暗示你一定要用导数定义!

【求极限的一般题型】

1、求分段函数的极限,当函数含有绝对值符号时,就很有可能是有分情况讨论的了!当X趋近无穷时候存在e的x次方的时候,就要分情况讨论应为E的x次方的函数正负无穷的结果是不一样的!

2、极限中含有变上下限的积分如何解决嘞?说白了,就是说函数中现在含有积分符号,这么个符号在极限中太麻烦了你要想办法把它搞掉!

解决办法:

1、求导,边上下限积分求导,当然就能得到结果了,这不是很容易么?但是!有2个问题要注意!问题1:积分函数能否求导?题目没说积分可以导的话,直接求导的话是错误的!!!!问题2:被积分函数中既含有t又含有x的情况下如何解决?

解决1的方法:就是方法2微分中值定理!微分中值定理是函数与积分的联系!更重要的是他能去掉积分符号!

解决2的方法:当x与t的函数是相互乘的关系的话,把x看做常数提出来,再求导数!!当x与t是除的关系或者是加减的关系,就要换元了!(换元的时候积分上下限也要变化!)

3、求的是数列极限的问题时候:夹逼或者分项求和定积分都不可以的时候,就考虑x趋近的时候函数值,数列极限也满足这个极限的,当所求的极限是递推数列的时候:首先:判断数列极限存在极限的方法是否用的单调有界的定理。判断单调性不能用导数定义!数列是离散的,只能用前后项的比较(前后项相除相减),数列极限是否有界可以使用归纳法最后对xn与xn+1两边同时求极限,就能出结果了!

4、涉及到极限已经出来了让你求未知数和位置函数的问题。

解决办法:主要还是运用等价无穷小或者是同阶无穷小。因为例如:当x趋近0时候f(x)比x=3的函数,分子必须是无穷小,否则极限为无穷,还有洛必达法则的应用,主要是因为当未知数有几个时候,使用洛必达法则,可以消掉某些未知数,求其他的未知数。




第二篇:考研数学求极限方法小结 2100字

一.求极限方法小结

极限是整个微积分的基础,要理解微积分,首先要很好地理解极限的概念.

有多种求极限的方法,究竟该用哪种方法求极限,关键是要判断极限属于哪一种类型.1.知识要点

(1)利用极限的定义求极限.

(2)利用极限运算法则求极限.

(3)利用不等式求极限.

(4)利用变量代换法求极限.

(5)利用两个重要极限求极限.

(6)利用单调有界准则求极限.

(7)利用函数的连续性求极限.

(8)利用等价无穷小代换求极限.

(9)利用单侧极限求极限.

(10)利用罗必达法则求极限.

(11)利用导数定义求极限.

(12)

(13)利用定积分定义求极限.利用Taylor公式求极限.

2.典型例子

例1:设x1=2,x2=2+11,?,xn+1=2+,?x1xn求证:limxn存在,并求其值.n→∞

(答案:1+2)

例2:求lim??1?11?++?+?222n→∞?n+2n+n??n+1

?????(答案:1)??111例3:求lim?++?+11n→∞n+1?(n2+1)2(nn+1)n?

例4:求(答案:1)1?3?5?(2n?1)

n→∞2?4?6?2nlim

??1??lim?x?x2ln?1+??x→∞x????

(答案:0)例5:求(答案:1)212例6:lim+x→0cosx

xc(答案:e?)?x+c?2t例7:求常数c,使lim??=∫tedtx→∞x?c???∞(c=5)2

例8:已知x1=1,x2=1+xx1,?,xn=1+n?1,?,证明数列{xn}收敛,并求出x1+1xn?1+1此数列的极限.?1+5????2???

3(1+xn)(n≥0),求limxnn→∞3+xn(答案:3)例9:设x0>0,xn+1=

例10:求limx→0+tanx??tanxex?1(答案:1)

ln(1+x+x2)+ln(1?x+x2)例11:求limx→0secx?cosx

1??x2+esinx?lim?+4x→0?x?x???1+e?(答案:1):例1212:(答案:1)

x2

例13:设f(x)=

同阶无穷小量.

例14:lim?∫tan02tdt,g(x)=x7+sin6x,证明:当x→0时,f(x)与g(x)是?1?2?cotx?x→0x2??(答案:2)3

2π?π?sinsin?++?+sinπ?例15:求lim??n→∞n+111?n+n+??2n???(答案:2)π

12n??1sin2sinnsin??nnn16例:求lim?2+2+?+2?(答案:sin1?cos1)n→∞n+n+1n+n+2n+n+n??????

例17:设f(x)在原点的邻域内二次可导,且lim??sin3xf(x)?+2?=0,求3x→0x??x

9)2f(x)??3f(0),f'(0),f"(0)及lim?2+2?x→0xx??(答案:?3,0,9,

例18:设f(x)在x=0的某邻域内具有二阶导数,且lim?1+x+

1

x?x→0?f(x)?3?=e,求x?1xf(x)??f(0),f'(0),f''(0)及lim?1+?.(答案:f(0)=0,f'(0)=0,f''(0)=4,x→0x??

f(x)??2lim?1+?=e)x→0x??

例19:设{an},{bn},{cn}均为非负数列,且liman=0,limbn=1,limcn=∞,n→∞n→∞n→∞1x则必有

(A)an<bn对任意n成立;

(C)极限limancn不存在;n→∞(B)bn<cn对任意n成立;(D)极限limbncn不存在.n→∞

(20xx年数学一)

2arctanx?ln

例20:已知limx→0xp1+x=c≠0,求p,c(答案:p=3,c=?4)3例21:设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且f(0)≠0,f'(0)≠0,f''(0)≠0.证明:存在惟一的一组实数λ1,λ2,λ3,使得当λ→0时,λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)?f0)是比h2高阶的无穷小.

例22:求极限lim???11?(答案:?1)?2x→0??2?ln(x++x)ln(1+x)?

x2

例23:已知当x→0时x2?cost2dt与Axk是等价无穷小,求常数A和k.(答案:∫0

A=1,k=10)10

例24:设函数f(x)在(?∞,+∞)内单调有界,{xn}为数列,下列命题正确的是

(A)若{xn}收敛,则{f(xn)}收敛.(B)若{xn}单调,则{f(xn)}收敛.

(C)若{f(xn)}收敛,则{xn}收敛.

(答案:B)(20xx年数学一)

例25:求极限lim(D){f(xn)}若单调,则{xn}收敛.1)(20xx年数学一)6[sinx?sin(sinx)]sinxx→0x4(答案:

例26:(I)证明:对任意的正整数n,都有(II)设an=1+111<ln(1+<n+1nn11+?+(n=1,2,?),证明数列{an}收敛.2n

(20xx年数学一、二)翡翠棋牌收集

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