归纳函数极限的计算方法(4700字)

发表于:2017.9.25来自:www.ttfanwen.com字数:4700 手机看范文

函数极限的计算方法

摘 要 :本文总结出了求极限的几种方法,比如用定义、公式、定理、性质求极限.

关键词 :函数极限;计算方法;洛必达法则; 四则运算

The sum of the Method of Computing Function Limit

Abstract:The write sums up in this article several ways of extacting the limit by the means of definition, formula,nature, theorem and so on.

Key Words:Function Limit;Computing method;L’Hospital rules; Four fundamental rules

前言

极限的概念是高等数学中一个最基本、最重要的概念,极限理论是研究连续、导数、积分、级数等的基本工具,因此正确理解和运用极限的概念、掌握极限的求法,对学好数学分析是十分重要的.求极限的方法很多且非常灵活,本文归纳了函数极限计算的一些常见方法和技巧.

1. 预备知识

1.1函数极限的???定义[1]

为定数,若对任给的?设函数f在点x0的某个空心邻域U(x0;?')内有定义,A?0,存在正数?(??'),使得当

0?|x?x0?|?时有|f(x)?A|??,则称函数当趋于x0时以A为极限,记作limf(x)?A或f(x)?A(x?x0). x?x0

2.求函数极限的方法总结

极限是描述函数的变化趋势,以基于图形或直观结合定义可以求出一些简单的函数的极限;但是结构较为复杂的函数的图形不易画出,基于直观也就无法得出极限,本着化繁为简的思想,产生了极限的四则运算法则;由“数列的单调有界准则”和“迫敛准则”产生了两个重要极限和无穷小量的性质—有界函数与无穷小量的积仍是无穷小量;由中值定理得出了罗必达法则.以上也是我们求极限的理论依据,但在个依据下求极限又有各自的技巧.

2.1依据函数极限的迫敛性求极限

函数极限的迫敛性 设x?x0limf(x)?limg(x)?A,且在某U(x0;?')内有f(x)?h(x)?g(x),则limh(x)?A. x?x0x?x0

例1求极限limx[x?01] x

解:当x?0时,有

11?x?x[]?1 x

x?0?lim(1?x)?1,由函数迫敛性可得

1lim?x[]?1 x?0x

同理可得x11?0时,lim?x[]?1,即limx[]?1 x?0x?0xx

注:依据函数极限的迫敛性求极限时,需判断该函数的上下范围,这时通常用到以下不等式:x?1?[x]?x(x?0),x?[x]?x?1(x?0),?1?sinx?1,?1?cosx?1

2.2 依据极限的四则运算求极限[2]

依据极限的四则运算法则求极限的题目,除了直接使用极限的四则运算法则外,往往还有以下几种类型:

分母极限为0:可先采用“约简分式”或“分子、分母有理化”进行恒等变形,将分母极限化为非零,然后再运用法则:

xm?1例2 求极限lim(n和m都是正整数) x?1xn?1

(x?1)(xm?1?xm?2???1)解:原式=lim x?1(x?1)(xn?1?xn?2???1)

=xm?1?xm?2???1mlimn?1? n?2x?1x?x???1n

?等未定型:因“?”不是一个数,故该类型的题目不能直接使用运算法则,但可以利用“无穷大量的导数”、“分式?

13?) 1?x1?x2???,0??,有理化”或“通分”等方法,将其转化为极限存在后,再运用法则计算. 例3求极限lim(x?1

1?x?x2?3解:原式=lim 2x?1(1?x)(1?x?x)

=lim?(1?x)(x?2)?3???1 2x?1(1?x)(31?x?x)

2.3 依据两个重要极限求极限

两个重要的极限:limsinx1?1,lim(1?)x?e. x?0x??xx

函数经过一定变形,若能出现以下情况:

sinf(x)1g(x)(f(x)?0),(1?)(g(x)??),(1?h(x))h(x)(h(x)??) f(x)g(x)

时,也可采用重要极限来求. 1

例4 求极限[2]3x?sinx2

limx?0sin3x?x3

x?sinx3?1?0sinx解:原式=lim??1 x?0sin3x3?1?03?x2

3x

3x?22x?1) 例5 求极限lim(x??3x?13?

31?)解:原式=lim[(x??3x?1

2.4依据等价无穷小替换求极限 3x?1233x?13]()?e2?1?e2 3x?21

求函数极限,若能恰当采用等价无穷小的代换,可以起到变难为易,化繁为简的作用.需要记住一些常见的等价无穷小, 如当x?0时:

sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arctanx~x,ex?1~x,ln(1?x)~x,(1?x)??1~?x.

tanx?sinx x?0sinx3

1sinx?sinxcosx?解:原式?lim 3x?0cosxsinx

x2sinxsin21 ?lim?3x?0cosxsinx

x2

x?11 ?lim?3? x?0cosxx2例6 求极限[2]lim

注:用等价无穷小替换求极限时,应注意只能用分子、分母整个部分去代换,或是把函数化成积的形式实行无穷小代换,对极限式的相加相减部分不能随意替代.

2.5 依据洛必达法则求极限

洛必达法则[1]:

和g满足: 0型不定式极限 若函数f0

(i)x?x0x?x0limf(x)?limg(x)?0;

0(ii)在点x0的某空心邻域U(x0)内两者都可导, 且g'(x)?0 (iii)x?x0limf'(x)?A(A可为实数, 也可为??或?), 则 g'(x)

limf(x)f'(x)?lim?A g(x)x?x0g'(x)x?x0

?型不定式极限 若函数f?

(i)

x?x0?x?x0和g满足: limf(x)?lim?g(x)??;

0(ii)在点x0的某右邻域U?(x0)内两者都可导, 且g'(x)?0 (iii)x?x0limf'(x)?A(A可为实数, 也可为??或?), 则 g'(x)

lim?f(x)f'(x)?lim??A g(x)x?x0g'(x)x?x0

因此函数为0?,型,通常可采用此法,如下: 0?

[??例7计算极限lim0

x?0xx20arctan(1?t)dt]dux(1?cosx) 解:原式?limx?0?x20arctan(1?t)dt(1?cosx)?x?sinx

arctan(1?x2)?2x?lim x?02sinx?x?sinx

4x22?2arctan(1?x)2

?limx?03cosx?x?sinx

2arctan(1?x2)??lim?x?03cosx6

注:“洛必达法则”是求函数极限的有力工具,但在运用中,由于积、商、复合函数的求导会使分子、分母的项数增加, 导致求极限过程繁琐,因此用L'Hoshital法则求

2.6 依据麦克劳林展开式求极限

一般常见函数的麦克劳林公式[1]0?,型的极限是不够的,需综合运用其它方法才能发挥作用. 0?:

x2

e?1?x??2!xxn

???(xn) n!x3x5

sinx?x???3!5!

x2x4

cosx?1???2!4!?(?1)m?1x2m?1??(x2m) (2m?1)!x2m?(?1)??(x2m?1) (2m)!m

x2x3

ln(1?x)?x???23

(1?x)??1??x??(?1)x2?n?1xn??(xn) n?(??1)2!??(??1)(??n?1)nx??(xn) n!

1?1?x?x2??xn??(xn) 1?x

0?0?利用洛必达法则求,型极限时,其结果是化成某阶导数的比,而麦克劳林展开式的各项系数正分别含着各阶导数的值,因此对,0?0?

型函数极限也可采用此法.

例8 求极限limcosx?e

x?0x4?x2

x2x4

???(x5) 解: cosx?1?224

e?x2

2x2x4?1????(x5) 28

?x2

原式=limcosx?e

x?0x414x??(x5)1?lim4?? x?0x12?

注:若本题采用洛必达法则去做,会导致计算过程繁杂.

2.7 运用函数的连续性求极限

函数的连续性定义[1]: 设函数f在某U(x0)内有定义, 若

x?x0limf(x)?f(x0),

则称f在点x0连续.

若函数f在区间I上的每一点都连续, 则称f为I上的连续函数.

x2?5例9 计算极限lim x?2x2?3

思路:f(x)为连续函数, x0为f(x)的定义区间上的一点,则limf(x)?f(x0). x?0

22?5?9 解:原式=22?3

2.8 运用导数的定义求极限

导数的定义[1]: 设函数y?f(x)在点x0的某邻域内有定义, 若极限

x?x0limf(x)?f(x0) x?x0

存在, 则称函数f在点x0处可导, 并称该极限值为函数f在点x0处的导数, 记作f'(x0).

f为I上的可导函数. 若函数f在区间I上的每一点都可导(对区间端点, 仅考虑相应的单侧导数), 则称

例10 计算limln(h?x)?lnh(h?0) x?0x

思路:对具有limx?0f(x0?h)?f(x0)f(x)?f(x0)或lim形式的极限,可由导数的定义来进行计算. h?0hx?x0

1 h解:原式=(lnx)'|x?h?

2.9运用定积分的定义求极限

[1]定积分的定义: 设f是定义在[a,b]上的一个函数, J是一个确定的实数.若对任意给的正数?, 总存在某一正数?, 使得对

[a,b]的任何分割T

, 以及在其上任意选取的点集{?i}, 只要T??, 就有

?f(?)?x?Jii

i?1n??

则称函数f在区间[a,b]上可积或黎曼可积;数J称为f在区间[a,b]上的定积分或黎曼积分, 记作J??f(x)dx ab例11 计算[3

]1limn?0n

11ni思路:和式极限,利用定积分定义lim?f

()?f(x)dx求得极限. ?0n?0nni?1

1n

解:原式?limn?0ni?1

??

??0?x2dx??

2.10 运用微分中值定理求极限

[1]拉格朗日中值定理: 若函数f满足如下条件:

(i)f

f在闭区间[a,b]上连续; 在开区间(a,b)内可导,则在内至少存在一点?,使得 (ii)

f'(?)?

[3]f(b)?f(a). b?a例12:计算ex?esinxlim x?0x?sinx

思路:对函数

解:原式?f(x)在区间[sinx,x]上运用拉格朗日中值定理,即可求得. ??0lime??1 (其中?在[sinx,x]区间内)

综上所述,求极限时,在不同的函数类型下,所采用的技巧是各不相同的,对同一题也可能有多种求法,有难有易,有时甚至需要结合上述各种方法,才能简单有效的求出,因此学会判断极限的类型和对以上的解法的灵活运用是必要的.

参考文献

[1]华东师范大学数学系. 数学分析(第五版)[M]. 高等教育出版社,20xx.

[2]钱志良. 谈极限的求法[J]. 常州信息职业技术学院学报,20xx.

[3]李占光. 函数极限的计算方法[J]. 长沙民政职业技术学院学报,20xx.




第二篇:极限的计算方法 2300字

第二章 一元函数微分学

三、极限的计算方法(二)

4.利用两个重要极限求极限

第1个重要极限的标准形式:limx?0

x??sinxx?1第2个重要极限的标准形式:lim(1?1x)?ex

注意:对于两个重要极限,不仅要记住他们的标准形式,更重要的是理解其本质特征,明确其一般形式。

sinx在lim?1中,x是无穷小量,即此极限的特征是:无穷小量的正弦与x?0x

其自身之比的极限是1,设?(x)为x的函数,在x的某个变化过程中,若?(x)?0, 则第1个重要极限的一般形式为:

    limsin?(x)?1?(x)?0?(x)

11在lim(1?)x?e中,x??时是无穷小量,因此该极限的特征为:x??xx

无穷大量(1?无穷小量)(其中,无穷小量与无穷大量互为倒数)的极限为e。

若在x的某个变化过程中,?(x)?0,则第2个重要极限的一般形式为

?(x)?0lim(1??(x))1?(x)?e

例6求极限lim

解:因sinax?sinax(a,b均为常数) x?0sinbxsinax?x,于是可把上极限化为两个函数乘积的极限sinbxxsinbx 求解。又当x→0时,ax→0,bx→0,于是有

sinaxsinaxx?lim?limx?0sinbxx?0x?0sinbxx

sinax1111a ?alim?lim?a?1???x?0axbx?0sinbxb1b

bx

x例7求极限limtsin

t??tlim

xx解:在极限过程中,t是变量,当t???0,即是无穷小量,于是有tt

   limtsint??x?lim(tt??x

tsinxt?x)?1?x?x

分析:当x→0时,分子,分母的极限均为0,且分子是一个无理函数,分母是正弦函数,于是可先把分子有理化(分子,分母同乘以(?x?1),然后看是否可利用第12?x2?1 例8求极限lim2x?0sinx

个重要极限。

?x2?11?x2?1x21解:lim?lim?lim?lim2x?0x?0sinx2sinx2?(?x2?1)x?0sinxx?0?x2?1

11        ?1??22

k例9求极限lim(1?)n(k为常数)

n??n

kk无穷大   分析:当n???0,即是无穷小量,符合“(1?无穷小)”型, nn

再把无穷小量与无穷大量配成互为倒数的形式,即可利用第2个重要极限求解。

kk解:lim(1?)n?lim[(1?)k]k?ek

n??n??nnn

例10求极限lim(1?kx)(k为常数) x?01x

1   分析:当x?0时,?kx是无穷大量,即极限属于x

11无穷大“(1?无穷小)”型,再把配成“?kx”的倒数“?2个重要

xkx

极限求解。

解:lim(1?kx)?lim[(1?kx)x?0x?01x?1kx?k]?e?k

例11求极限lim(x??x?5x?3) x

x?5x?3555解:lim()?lim(1?)x?lim(1?)3?lim[(1?)5]5?13?e5

x??x??x??x??xxxx

n?3n例12求极限lim()

n??n?1

解法1:因为n?3

n?1n?1n?1

41 故令?,即n?4t?1,且当n??时,t??,于是有:n?1t?n?1?4?1?4 x

  lim(n??

解法2: n?3n111)?lim(1?)4t?1?lim[(1?)t]4?lim(1?)?e4?1?e4t??t??t??n?1ttt

n

5.利用通分、三角公式等恒等变形后再求极限。 3331?lim(1?)nlim[(1?)3]3n?3ne3n??n??nnnnlim()?lim()????1?e4n??n?1n??111e1?lim(1?)nlim[(1?)?n]?1n??n??nnn

?11?例13求极限lim??? 。

x?0x(x?3)3x??

11   分析:当x?0与均趋于无穷大,此极限属“???”型未定 xx?33x

式,一般采用先通分变形后再求极限。

?11?3?(x?3)?11解:lim????lim?lim??

x?0x(x?3)3x?x?03x(x?3)x?03(x?3)9?

1?cosx 例14求极限limx?0xtanx

分析:当 x→0时,分式中分子分母的极限均为0,不能直接使用极限的运算法则,但前面所介绍“分解因式”、“有理化”的方法在此又不适用。能否利用第1个重要极限呢?这就需要首先利用三角恒等式对函数进行适当的变形。

1?cosx(1?cosx)(1?cosx)1?cos2x??xtanxxtanx?(1?cosx)xtanx?(1?cosx)

sin2xsinxcosx  ???sinxx1?cosxx?(1?cosx)cosx

1?cosxsinxcosx11所以,lim?lim?lim?1??

x?0xtanxx?0xx?01?cosx22

xsinx

x??x2?1 6.利用无穷小量的性质求极限·极限计算小结 ⑴ 利用“无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量”这一性质求极限。 例15求极限lim

解:因当x→∞时,sinx的极限不存在,故不能用极限的运算法则求解,考虑到 lim

x?limx??x2?1x??1x11?2x?0

x   即x??sinx?1,即sinx是有界变量,由无穷小x?1

x?sinx是无穷小量,即x?1

lim

极限计算小结:

以上介绍了极限计算中常用的6种基本初等方法,在实际运用中,要首先判定所求极限属于哪一种类型,视具体情况灵活正确运用。同时,也要注意各种方法的综合运用。极限计算是本章的重点内容之一,要求大家加强练习,熟练掌握。

xsinx?0x??x2?1

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